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Curso de Ajuste por Mínimos Cuadrados

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Hablemos de Ajuste por Mínimos Cuadrados. Cuando realizamos trabajos en campo y gabinete, buscamos conseguir una buena calidad en los resultados, pero estamos inmersos en los errores que provienen de cada equipo y del usuario que realiza las observaciones.

Por ello se tiene en cuenta la precisión o desviación estándar y la tolerancia para ser aceptados, por consiguiente, se hace la corrección y se obtiene los valores más probables de la medición.

Uno de los métodos más rigurosos para hacer esta corrección es el Ajuste por Mínimos Cuadrados.

Condición fundamental

El ajuste por mínimos cuadrados trata de encontrar la función que mejor se ajuste a los datos medidos. Teniendo en cuenta que las mediciones hechas en campo no son perfectas, por los errores ya mencionados, se le tiene que sumar un residuo.

Entonces, se dice que este ajuste consiste en reducir al mínimo la suma de los cuadrados de los residuos de cada medición. Siendo así la condición fundamental:

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Donde;

Ajuste por Mínimos Cuadrados

son los residuos

Mínimos Cuadrados Ponderados

A las observaciones o mediciones se le pueden agregar pesos (W) que guardan relación indirecta con la Desviación Estándar (precisión del equipo), teniendo así la ecuación:

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Para aplicar la ponderación por mínimos cuadrados, la suma de los pesos por sus residuos correspondientes, elevado al cuadrado debe minimizarse de la siguiente manera:

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Aplicar los pesos es común para ajustar los datos de campo, ya que un proyecto implica el uso de varios equipos a la vez, como los topográficos, fotogramétricos y geodésicos.

Por ejemplo, si tenemos una ortofoto, producto de un levantamiento con RPAS y medimos una distancia entre dos puntos, no resultará igual si la medimos en campo con una Estación Total.

Ambas mediciones tienen distintos pesos, pero podemos asignarle un peso mayor a la medida realizada con Estación Total ya que es una técnica directa de mejor precisión.

Veamos un ejemplo

Tenemos tres medidas. Donde “x” e “y” son las distancias de AB y BC; ambas con 3mm de precisión, y “x + y” es la distancia de AC medida con otro instrumento de precisión 5mm.

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Como vemos AB + BC ≠ AC, esto es por la precisión del equipo y error del usuario. Para hacer la corrección agregamos los residuales a cada medición

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Despejamos los residuales y la fórmula de la ecuación fundamental ponderada quedaría de la siguiente manera:

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Se procede a derivar respecto a “x” e “y” que son nuestras incógnitas e igualamos a cero:

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Resolviendo las ecuaciones, se obtienen los valores de “x” e “y” ajustados,

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Se calculan los residuos para dichos valores reemplazando en las fórmulas anteriores:

Ajuste por Mínimos Cuadrados

De está manera se corrigen las mediciones obteniendo los valores más probables de “x”, “y” y “x + y”.

Para realizar estos cálculos también se puede hacer uso de métodos matriciales; desarrollando el proceso en Excel o en algún lenguaje de programación para hacerlo más automatizado.

Diferencia con condición sin Ponderación

Aquí la desviación estándar () es constante, vale decir, las mediciones han sido realizadas con el mismo equipo, por en ende tienen la misma precisión. No aplicamos los pesos.

Ajuste por mínimos cuadrados

Realizando ejercicio anterior, sin ponderación, los valores resultantes son  

Ajuste por Mínimos Cuadrados

y los residuos para dichos valores son:

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Como se observa hay menos detalle, se torna similar a lo que sería hacer un promedio simple.

Residuo

Los residuos son los valores que se suman a las mediciones; es decir, la corrección que se hace a la medida para que se asemeje al valor más probable y decimos probable porque nunca tendremos el valor verdadero al cien por ciento.  

Esto sucede debido al error aleatorio, que escapa de nuestras manos y tiene que ver con la precisión del equipo que estemos trabajando y la destreza del usuario. Aunque en los últimos años con el avance de la tecnología estos equipos son cada vez más precisos, no se los considera perfectos.

La buena noticia es que estos errores siguen las leyes de la probabilidad, siguiendo una distribución normal (como vimos en el blog anterior) que es muy usado en los temas de topografía y geodesia, de esta manera podemos aplicar el ajuste de mínimos cuadrados a las mediciones u observaciones.

Aplicaciones en Topografía del Ajuste por Mínimos Cuadrados

El ajuste por mínimos cuadrados se aplica en trabajos con poligonales topográficas en la que usamos varios instrumentos que suelen tener diferentes precisiones además que los lados de la poligonal tienen diferente magnitud, en este caso le damos un mayor peso (W) al lado mas pequeño, ya que a mayor distancia el error es mayor y esto es lo que queremos evitar. Similar sucede en la nivelación geométrica, a mayor longitud nivelada existe más error.

En el ajuste local se utiliza para hacer calibraciones de obra en proyectos que requieren gran precisión, haciendo la calibración necesaria. Algunos softwares ya tienen incluido el ajuste por mínimos cuadrados para estas aplicaciones como el caso de Leica Infinity o Trimble Business Center.

También se aplica en el ajuste de vectores GNSS, donde existe una correlación entre las observaciones de ambos receptores lo cual significa que la desviación de uno afectará al otro, a eso se le llama covarianza, este análisis y corrección es realizado por el software de procesamiento de línea base GNSS.

Rescatamos también el uso en obras viales que requiere de gran precisión, para integraciones de datos GNSS – Estación Total – Nivelación geométrica, en este caso una medición tomada en campo tendrá observaciones de distintos equipos, para definir cuál de ellos se usará se recurre al ajuste por mínimos cuadrados.

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