En este momento estás viendo Distribución normal en Topografía

Distribución normal en Topografía

Hablemos sobre la distribución normal en Topografía. En Topografía es muy habitual realizar múltiples observaciones, desde medir una distancia con una Estación Total hasta el cálculo de cotas con apoyo de un nivel de Ingeniero.

Los instrumentos topográficos en la actualidad tienen una gran precisión y automatización, Es por ello ahora se habla de Topografía automatizada, toda observación es realizada por el conjunto Hombre + Instrumento, y por mas calibrado y preciso que se encuentre un instrumento, y una gran destreza por parte del Topógrafo, los errores aleatorios siempre se van a presentar.

Hablemos de esos errores.

Errores Aleatorios

Estos errores quedan después de haber eliminado los errores sistemáticos y son ocasionados por factores que quedan fuera del control del observador, estos son los que obedecen las leyes de la probabilidad y también se les denomina errores accidentales.

Tenemos que aprender a convivir con este error aleatorio, y en ese sentido tengamos presente que nunca conoceremos el valor real de determinada observación.

Frustración o Inspiración.

Hasta ahora, esto puede parecer frustrante, ¿no? entonces, ¿Nunca conoceremos el valor real del ancho de una carretera? y que pasaría entonces si el supervisor me solicita los ángulos internos de la Poligonal Topográfica, ¿Los que tengo serán los correctos?

Ademas, aunque es cierto que nunca conoceremos el valor real de determinada magnitud, si podemos conocer el valor más probable. El V.M.P (Valor mas probable) es aquel que se acerca más al verdadero valor pero que no lo es.

Y como ya lo hemos dicho, cada día los equipos topográficos tienen mayor precisión, y la destreza del Hombre mejora constantemente, por lo que con buenas prácticas este valor más probable puede asimilarse como un valor óptimo.

Distribución Normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal o distribución de Gauss, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en la teoría de probabilidades.

Ciertamente la importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales como determinar las longitudes de un predio, estimar la distancia de un satélite a un Receptor en tierra, estimar los errores de una nivelación en una carretera, determinar la posición de un satélite en un momento específico, y estimar una ondulación local etc.

Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables que en ellos intervienen, el uso de la distribución o modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

Por ejemplo, es la determinación de una Red Vertical, se menciona de manera estricta que se necesita conocer el potencial gravitatorio para distintos puntos de la zona de estudio, y esto solo es posible con Instrumentos gravimétricos que pueden llegar a ser demasiado costosos. 

¿Entonces no podríamos establecer una Red Vertical Topográfica?

Si, y es que el fenómeno gravimétrico en un ámbito topográfico local se puede tratar como una distribución normal, incluso se podría modelar satisfactoriamente mediante algoritmos sofisticados de Data Mining sin incluir variables de gravedad local.

Ejemplificando

En este ejemplo tenemos un conjunto de 100 datos que pertenecen a los residuos obtenidos en una medición topográfica en milímetros con Estación Total:

Tabla 01: Residuos de mediciones topográficas.

-1.77-1.77-0.77-0.774.2
-1.77-1.77-0.77-1.776.23
-5.77-1.771.23-0.772.23
-5.77-1.771.231.232.23
-4.77-1.771.230.232.23
-4.77-0.771.230.232.23
3.23-0.771.230.23-4.77
4.23-1.77-1.770.23-4.77
2.23-0.77-1.770.23-3.77
0.23-0.77-1.770.23-3.77
0.3-0.77-0.770.2-3.77
0.450.9-1.775-3.77
2.23-0.77-1.776-2.77
0.23-0.77-1.777-3.77
-0.77-0.771.236.8-2.77
-0.7-0.770.455-3.77
-0.77-0.770.33.23-2.77
-0.77-0.771.233.23-2.77
-1.77-0.771.233.23-2.77
0.23-0.775.234.23-2.77

En el primer valor de -1.77 mm hace referencia a que en dicha observación (Medición con estación total) se obtuvo una distancia de 5.546 metros, teniendo en cuenta que la media de las 100 observaciones fue de 5.54423 metros.  Ademas, entendemos como residuo a la diferencia entre la media y la observación. Por ello: 5.54423m – 5.546m nos da el valor de -0.0017 m.

Vamos a establecer los siguientes rangos para establecer un Histograma y Polígono de frecuencias de este caso:

Tabla 02: Rango o clases para el caso de uso.

[-6.5 a -5.5]
[-5.5 a -4.5]
[-4.5 a -3.5]
[-3.5 a -2.5]
[-2.5 a -1.5]
[-1.5 a -0.5]
[-0.5 a 0.5]
[0.5 a 1.5]
[1.5 a 2.5]
[2.5 a 3.5]
[3.5 a 4.5]
[4.5 a 5.5]
[5.5 a 6.5]
[6.5 a 7.5]

Asi mismo, observamos como se a elaborado rangos de un milímetro, empezando en -6.5 a -5.5 mm. Luego procedemos a contabilizar las observaciones según el rango:

Tabla 03: Contabilización según rango.

RangoFrecuencia
[-6.5 a -5.5]2
[-5.5 a -4.5]4
[-4.5 a -3.5]6
[-3.5 a -2.5]6
[-2.5 a -1.5]16
[-1.5 a -0.5]22
[-0.5 a 0.5]14
[0.5 a 1.5]10
[1.5 a 2.5]6
[2.5 a 3.5]4
[3.5 a 4.5]3
[4.5 a 5.5]3
[5.5 a 6.5]2
[6.5 a 7.5]2

En la tabla 03, se tiene 2 observaciones que se ubican dentro del rango de -6.5 a -5.5, 16 observaciones se ubican en el rango de -2.5 a -1.5 y 22 que se ubican entre -1.5 a -0.5.

En general, podemos decir que los residuos mas bajos se presentan con mayor frecuencia, y esto es fundamental, ya que, para ubicarnos dentro de una distribución o modelo normal, los errores groseros deben ser mínimos.

Con los datos anteriores y la contabilización de los mismos (frecuencias) según el rango establecido, se procede a elaborar un Histograma y polígono de frecuencia para un mejor aprecio del comportamiento del dataset.

Gráfico 01: Histograma y polígono de frecuencias.

Histograma y Polígono de frecuencias

En este gráfico podemos ver que los residuos entre -1.5 a -0.5 se presentan con mayor frecuencia, mientras que los residuos mas elevados se concentran en los bordes del gráfico.  

Como nos encontramos en el mundo de las probabilidades, a partir del tratamiento de este gráfico se puede construir una curva, que vendría a ser la curva de distribución normal o también conocida como Campana de Gauss.  

Esta curva tiene una serie de propiedades que nos ayudará a predecir las mejores observaciones, por lo tanto, también podremos evitar errores notables.

Gráfico 02: Curva de distribución normal para el caso de uso.

Curva de distribución normal en Topografía

Conclusión

En resumen, muchos fenómenos que encontramos en Topografía y Geomática, pueden ser modelados mediante la Distribución normal en Topografía, permitiéndonos detectar errores y predecir mejores datos, por lo tanto, nos ayuda en la toma de decisiones.

Esto se puede lograr mediante un Ajuste por Mínimos cuadrados, y en Topografía específicamente se trata de casos ponderados ya que se trabaja con equipos y técnicas de distintas precisiones.

No olvides seguirnos en nuestras redes sociales, compartimos contenido útil siempre, también puedes consultarnos o adquirir alguno de nuestros cursos:

#GNSS: PPP-RTK  #Curso de Poligonales en Obras Viales #Curso de Poligonales Topográficas #Curso de Procesamiento de Líneas base #Curso de Ajuste Local UTM-Topográfica #Curso de Cartografía Aplicada a Receptores gnss #Certificar los puntos de orden C ante el IGN #geomensura #geomensor #puntos de apoyo fotogramétrico #puntos geodésicos de orden c #ingeniero en geomensura #ingeniería en geomensura y cartografía  Topografía automatizada, Geodesia satelital, Fotogrametría digital 

Deja una respuesta